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非选择题-模拟卷
日期：2026-03-08
11. 已知 ，则其反函数为________。
12. ________。
13. 的不可导点有________。
14. 若 ，则 ________。
15. 函数 的拐点个数为________。
16. 函数 ，则 ________。
17. 已知函数 在任意点处的增量 ，且当 时， 是 的高阶无穷小，若 ，则 ________。
18. 函数 的周期为 T，若 ，则 ________。
19. 设 是 的一个原函数，求 的导数________。
20. 在[0, 1] 上连续，且 ，，则 在(0, 1) 的零点个数为________。
三、计算题（共4个小题，每题7分，共28分）
21. 求曲线 的斜渐近线。
22. 函数 ，求其凹凸区间以及拐点。
23. 推导不定积分的公式：。
24. 计算 。
四、应用题（共1个小题，每题12分，共12分）
25. 设曲线方程 ，且当 时，，若曲线 与直线 ， 所围成的图形面积为1，且该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ，试求常数 a，b 的值。
五、证明题（共1个小题，每题10分，共10分）
26. 设 三阶可导，且 ，令 ，证明：存在 ，使得 。
四、 答案与解析
11.【答案】 【解析】 要求反函数，先从原函数中解出 ： 将 两边取以 为底的指数：
去分母并展开：
含有 的项移到左边：
解得： 最后将 和 互换，得到反函数：。
12.【答案】 【解析】 当 时，分子 ，分母 。这是典型的 型未定式。 使用洛必达法则，对分子（变上限积分）和分母分别求导：
当 时， 与 是等价无穷小（），故代换后可得：
13.【答案】 【解析】 对绝对值内部进行因式分解：。 原函数可化为：。 绝对值函数的不可导点一般出现在使其内部为 的点，即考察 和 。 ① 考察 处：函数含有因子 。当 时为 ，导数为 ，代入 1 等于 0；当 时为 ，导数为 ，代入 1 也等于 0。左右导数均为 0，故在 处可导。 ② 考察 处：当 时，，求导代入 得右导数为 1；当 时，，求导代入 得左导数为 -1。左右导数不相等，故在 处不可导。
14.【答案】 【解析】 计算函数 的奇偶性（为保证 处有定义，默认题意在 邻域为绝对值形式）：
说明 是一奇函数。 根据导数的性质，奇函数的偶数阶导数依然是奇函数；而奇函数在原点 处如果存在定义，其值必然为 0。 由于 2026 是偶数，因此 也是奇函数，故 。
15.【答案】 【解析】 求一阶和二阶导数：
令 ，解得可疑点 和 。 考察二阶导数的符号变化： 当 时，； 当 时，； 当 时，。 二阶导数在 和 处左右两侧均发生了符号的改变。所以这两个点都是拐点，拐点个数为 2 个。
16.【答案】 （也可写为 ） 【解析】 令后面一长串的乘积部分为 。 则原函数可表示为：。 利用乘积求导法则连续求两次导：
将 代入 中，含 的项全部消去：
又因为 。 故 。
17.【答案】 【解析】 根据函数增量与微分的关系定义：。 对照题设 （ 为高阶无穷小），可知该函数的导数为：
对导数进行不定积分还原原函数：
代入初始条件 ：
所以 。 目标求 ：
18.【答案】 【解析】 利用周期函数定积分的重要性质：对于周期为 的可积函数 ，它在一个完整周期长度上的定积分值是一个固定的常数，与积分区间的起点选取无关。 即对于任意实数 ，恒有：。 本题中取 ，直接得出结论：
19.【答案】 【解析】 已知 是 的一个原函数，根据原函数的定义，这就意味着：
求 的导数，需要运用复合函数求导法则（链式法则）：
将 代入到 的表达式中：。 代入计算：
20.【答案】 【解析】 ① 判断单调性：已知 ，说明函数 在闭区间 上是严格单调递增的。这意味着它与 轴最多只能有 1 个交点。 ② 判断端点符号：因为严格单调递增，必然有 。 题目又已知 ，两个数相加等于 0 且前面的数小于后面的数，必然是一个为负，一个为正。即推导出 且 。 ③ 应用零点定理：因为 连续，且端点异号（），根据闭区间连续函数的零点存在定理，在 内至少存在 1 个零点。 综合①和③可知， 在该区间内零点存在且唯一，故个数为 1。
三、计算题
21.【解析】 设斜渐近线方程为 。 ① 求斜率 ：
当 时，，。 故 。
② 求截距 ：
作变量代换，令 ，则当 时，。
此时极限为 型，应用洛必达法则，对分子分母关于 求导：
将 代入得：。 结论： 曲线的斜渐近线方程为 。
22.【解析】(注：依国内同济版高等数学标准，二阶导数 为凹区间， 为凸区间)① 求函数的导数： 定义域为 。 一阶导数： 二阶导数：
② 寻找拐点和凹凸区间： 令 ，得 。 用这两个点划分定义域进行讨论：
- 当 时，，曲线在此时是凸的。
- 当 时，，曲线在此时是凹的。
- 当 时，，曲线在此时是凸的。 因为在 和 处二阶导数变号，故它们是拐点。 代入原函数求纵坐标：。 结论：凹区间为 ；凸区间为 和 。 拐点坐标为 和 。
23.【解析】 利用三角换元法进行推导。 ① 变量代换： 令 ，为了保证反三角函数存在且单调，限制 。 此时微分 。 根号化简：因为 时 ，所以 。
② 代入计算不定积分：
应用二倍角降幂公式 ：
利用二倍角正弦公式 展开：
③ 还原变量： 由 可知：，且 。 同时 。代入上式：
化简即得：
结论： 推导完毕。
24.【解析】 使用换元积分法去根号。 ① 变量代换： 令 ，则有 。 对两边求微分：。
② 确定新的积分上下限： 当 时，。 当 时，。
③ 代入定积分并计算： 将分子化为关于 的式子：。
提出常数并分别积分：
结论： 结果为 。
四、应用题
25.【解析】 根据题意列出面积和旋转体体积的积分方程。 ① 面积方程： 由于 时 ，面积即为定积分值：
已知 ，故有：。 (式①)
② 体积方程： 绕 轴旋转体体积公式为 ：
已知 ，故有：。 (式②)
③ 联立求解： 由式①解得 ，代入式②，两边同时乘 30：
方程两边同时乘 2 展开：
合并同类项，得 。 解得： 或 。
④ 检验参数：
- 若 ，。函数为 。代入区间端点 得 ，与题目“ 时 ”矛盾，舍去。
- 若 ，。函数为 ，在 上显然恒有 ，符合题意。
结论： 常数 ，。
五、证明题
26.【解析】 本题的核心思想是针对原函数及其各阶导数连续三次应用罗尔定理。
① 寻找 的零点： 已知 ，且 三阶可导。 计算闭区间 端点值： （已知 ） 因为 在 上连续，在 内可导，且 。 根据罗尔定理，存在 ，使得 。
② 寻找 的零点： 求 的一阶导数： 代入 ，得 。 现在我们有 且 。 因为 在 上连续，在 内可导。 根据罗尔定理，存在 ，使得 。
③ 寻找 的零点： 求 的导数得二阶导数： 代入 ，得 。 现在我们有 且 。 因为 在 上连续，在 内可导。 根据罗尔定理，存在 ，使得 。
结论： 由于 ，且 ，，所以必然有 。 令 ，即证得存在 ，使得 。证明完毕。