练习题-微分中值定理

日期：2026-01-04

这个考点的核心逻辑是：

1. 看到证明 直接找两个点 使得 ，用罗尔定理。
2. 看到证明 这不是直接的罗尔定理，需要构造辅助函数 ，使得 正好对应原方程。

以下是 3 道经典的构造训练题，难度逐级递增。

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1. (基础难度) 设 ，证明方程 有两个实根

思路

核心思路：罗尔定理最朴素的应用

逻辑： 罗尔定理告诉我们，两个零点之间必有一个导数为 0 的点。

1. 找函数的零点： 观察 的表达式，显然有三个零点：

2. 应用罗尔定理（第一段）： 在区间 上：

   • 连续且可导。
   • 。
   • 由罗尔定理，，使得 。

3. 应用罗尔定理（第二段）： 在区间 上：

   • 。
   • 由罗尔定理，，使得 。

4. 结论： 和 是两个不同的根（因为所在区间不重叠），所以 至少有两个实根。

2. (中等难度 - 经典构造) 设 在 上连续可导，且 ，证明 ，使得

思路

核心思路：构造辅助函数

逆向推导法： 我们要证 ，这看起来像是某个函数求导后的结果。

• 回忆公式：。
• 只要证明 即可。

1. 构造辅助函数： 令 。

2. 验证罗尔定理条件：

   • 端点值：
   • 所以 。

3. 使用罗尔定理： 在 内存在 ，使得 。

4. 计算导数并得出结论： 因为 ，所以必须有：

3. (进阶难度 - 隐蔽的端点) 设 在 上连续，在 内可导，且 。证明：，使得

思路

核心思路：整理方程 + 构造

逆向推导法：

1. 整理目标式： 看到分母 很别扭，先两边同乘 ：
2. 识别原函数： 观察 ，这正是乘积求导公式 的展开结果！
   • 。

解题步骤：

1. 构造辅助函数： 令 。

2. 验证罗尔定理条件（找两个点相等）：

   • 右端点： 时，已知 ，所以 。
   • 左端点： 时，。
     • 因为题目说 在 上连续，所以 是一个有限的常数。
     • 所以 。
   • 发现：。

3. 使用罗尔定理： ，使得 。

4. 展开求导： 两边除以 （因为 ，所以 ）：

   得证。