证明题-求极限

日期：2026-01-04

18. (5分) 求 （其中 ）。

在做这道题前，必须掌握 当 时的极限规律（设 为常数）：

• 当 时，。
• 当 时，。
• 当 时，。

分三种情况进行讨论：

第一种情况：当 时

• 分析： 当底数的绝对值小于 1 时（例如 等），随着指数 的增大， 会越来越接近 0。 即：。
• 计算： 直接代入极限值：

第二种情况：当 时

• 分析： 当底数的绝对值大于 1 时（例如 等）， 趋向无穷大时， 也会趋向无穷大。 这时候分子分母都是无穷大（ 型），不能直接代入。
• 技巧：分子分母同时除以 。因为 ，所以倒数 。 根据第一种情况的结论，。
• 计算：

第三种情况：当 时

• 分析： 题目条件已经排除了 （因为如果是 -1，分母会出现 ，可能导致分母为0，极限不存在）。 所以这里只需要讨论 的情况。
• 计算： 当 时， 恒等于 1。 直接代入：

这道题的最终答案是一个分段函数的形式：