计算题-矩形场地

日期：2026-01-17

25. 欲围一个面积为 的矩形场地。所用材料的造价为场地正面每平方米 6 元，其余三面每平方米 3 元。问场地的长、宽各为多少时，才能使所用的材料费最少。

---

二、 详细步骤解析

这道题主要考查导数在实际生活中的最值应用。我们需要建立一个关于成本的函数，然后通过求导找出函数的最小值。

第一步：设定变量与利用已知条件

1. 设未知数：

   设矩形场地的正面长为 米，侧面长（即宽）为 米。

   由于题目给出的造价是“每平方米”的价格，说明造价与墙壁的面积有关，因此我们需要假设墙壁的高度为 米（虽然题目没给具体的 ，但计算过程中会被约掉或视为常数）。

2. 利用面积约束条件：

   题目已知场地面积为 ，即：

   由此可得 与 的关系：

   （其中 ）

第二步：建立造价函数模型

我们需要计算四面墙的总造价。

1. 正面墙造价：

   面积 = 长 高 =

   单价 = 6 元/

   费用 =

2. 其余三面墙造价（背面 + 两个侧面）：

   • 背面墙： 长 ，面积 ，单价 3 元。费用 =

   • 两个侧面墙： 长 ，总面积 ，单价 3 元。费用 =

3. 总造价 ：

   合并同类项：

4. 将 代入函数，消去 ：

   (定义域为 ，实际只要 即可)

第三步：求导数寻找驻点（极值点）

为了找到费用的最小值，我们需要对 求导，并令导数为 0。

1. 求导 ：

   这里 是常数，看作系数。

2. 令导数为 0，解方程：

   令 ：

   两边同时消去 （因为 ）：

   解得： 或 （舍去，因为长度不能为负）。

   所以， 是该函数的唯一驻点。

第四步：验证并计算另一边长

1. 判断最值：

   由实际意义可知，该问题必然存在最小值，而我们在定义域内只求出了唯一的驻点 ，因此当 时， 取得最小值。

2. 计算侧面长 ：

   将 代入 ：

三、 最终结论

当场地的正面长为 10 米，侧面长（宽）为 15 米时，才能使所用的材料费最少。