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计算题-求极限
日期：2025-12-16
题目内容
24. 求极限 .
详细解题步骤
这道题是求极限中非常经典的题目，属于 型未定式。主要考查三角函数变形和等价无穷小替换。
方法一：三角变形 + 等价无穷小（推荐，最通用）
第一步：分析分子 分子是 。我们知道当 时， 且 ，如果直接替换会变成 ，这样导致分子的阶数丢失，无法得出正确结果。所以我们需要先变形。
利用公式 ：
第二步：代入原式 将变形后的分子代入极限式中：
整理一下位置：
第三步：利用等价无穷小替换 当 时，我们有以下重要的等价替换公式：
- （可以直接算出数值，不为0，直接代入）
将这些关系代入极限式：
第四步：得出结果 分子分母消去 ：
方法二：泰勒公式法（作为验证，解题速度快）
如果你学过泰勒公式（Maclaurin Series），这题可以秒杀。
第一步：展开级数 当 时：
第二步：分子相减
第三步：计算极限