计算题-极限和积分

日期：2025-12-27

第一题：求积分函数的最小值

题目（第26题）： 试求函数 在区间 上的最小值。 （提示公式：）

【解题思路】

1. 求导判断单调性： 这是一个变上限积分函数，通过求导判断函数在区间上的增减性，从而确定最小值的位置。
2. 计算函数值： 确定最小值点后，计算具体的定积分数值。

【详细步骤】

第一步：求导数 根据微积分基本定理，对变上限积分求导，直接把 换成 ：

第二步：分析导数的符号（判断增减性） 我们需要看在区间 上，导数是正还是负。

• 分母部分： 。 这是一个开口向上的抛物线，顶点纵坐标是 ，所以分母恒大于 0。
• 分子部分： 。 当 时，因为 ，所以 。

结论： 在区间 上，。 这意味着函数 在该区间上是单调递减的。 既然是递减函数，那么最小值一定出现在区间的右端点，即 处。

第三步：计算 的值 我们需要计算定积分：

为了积分，我们把分子凑成分母导数的形式（分母 的导数是 ）：

代入积分式拆分为两部分：

• 计算前半部分：

  代入上下限：。 （这部分等于0，简化了计算）

• 计算后半部分（利用提示公式）： 剩下的积分是： 配方分母： 这里对应公式中的 ，。

  应用公式 ：

  系数化简：

  代入上下限： 当 时， 当 时，

  计算结果：

【最终答案】 函数在 上的最小值为 。

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第二题：利用奇偶性计算定积分

题目（第26题，后两张图）： 设 ，利用函数的奇偶性求 的值。

【解题思路】

1. 换元： 直接积分 比较麻烦，且看不出奇偶性。通过令 ，将积分区间从 变为对称区间 。
2. 拆分函数： 将函数拆分为“奇函数”部分和“偶函数”部分。
3. 利用性质： 对称区间上，奇函数积分为 0，偶函数积分是半区间的 2 倍。

【详细步骤】

第一步：换元法（平移区间） 令 ，则 ，。

• 当 时，。
• 当 时，。

原积分变为：

第二步：分析奇偶性 我们把被积函数看作两部分之和：

1. 第一部分：

   • （偶）
   • （奇）
   • （偶）
   • 综合：偶 奇 偶 = 奇函数。

2. 第二部分：

   • 综合：偶函数。

第三步：计算积分

• 因为 是奇函数，且积分区间 关于原点对称，所以第一部分积分为 0。

• 因为 是偶函数，所以第二部分积分等于 区间积分的 2 倍。 且在 上，。

  计算该定积分：

【最终答案】 该定积分的值为 。