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计算题-面积和体积
日期：2025-12-27
第 27 题：半圆内接矩形最大面积问题
题目： 在半径为 的半圆内作一矩形，求怎样的边长使矩形面积最大。
【思路分析】 这是一道经典的几何最值问题。我们需要建立面积 与变量（比如坐标 ）之间的函数关系，然后利用导数求函数的极值。
【详细步骤】
第一步：建立几何模型与函数关系
- 建立坐标系： 设半圆圆心为原点 ，半径为 。半圆的方程为 ()。
- 设矩形顶点： 设矩形在半圆弧上的一个顶点为 ，其中 。根据圆的方程，纵坐标 。
- 确定边长：
- 矩形在 轴上的底边长为 （从 到 ）。
- 矩形的高为 。
- 列出面积公式 ：（定义域为 ）
第二步：求导数（寻找极值点） 我们需要求 对 的导数 。这里使用乘法法则 和链式法则。
解释：根号求导变成 ，内部 求导出来是 。
整理一下：
通分（把分母统一为 ）：
第三步：令导数为 0，解方程 为了求最大值，令 ：
分子必须为 0：
第四步：计算边长并得出结论 因为在实际问题中存在最大值，且导数为0的点唯一，所以该点即为最大值点。 此时，矩形的两边长分别为：
- 底边长：
- 高（另一边长）：
【最终答案】 当矩形的边长分别为 和 时，矩形面积最大。
第 28 题：定积分求面积与旋转体体积
题目： 求曲线 所围成平面图形的面积 ，并求该平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 。
【思路分析】
- 画图分析： 抛物线 开口向上，与 轴交点为 和 。
- 在区间 上，图像在 轴下方（）。
- 在区间 上，图像在 轴上方（）。
- 关键点： 计算面积时，在 轴下方的部分积分要取绝对值（加负号）；计算旋转体体积时通常使用“柱壳法”。
第一问：求面积
步骤： 面积 。因为在 处函数值符号改变，所以必须分段积分。
即：
计算：
计算第一部分 ：
计算第二部分 ：
总面积：
答案： 面积 。
第二问：求绕 y 轴旋转的体积
思路（柱壳法 Shell Method）： 当图形是由 给出，且绕 轴 旋转时，最方便的方法是柱壳法。 公式：
- 是圆柱面的周长。
- 是圆柱面的高度（注意高度必须为正）。
- 是微小厚度。
同样因为 处图形上下翻转，高度函数表达式不同，需要分段：
计算步骤：
第一部分积分（ 到 ）： 被积函数展开：
代入上限 2： 代入下限 1： 结果： 乘以 ：
(注：这里我手算的中间值和图片略有不同，让我们看图片的计算路径，图片最后直接合并了，我们按图片的式子走)
图片中的原函数形式：
我们重新细算一遍图片答案的最后一步： 第一部分： Upper (2): Lower (1): Diff:
第二部分（ 到 ）： 被积函数： 原函数： Upper (3): Lower (2): Diff:
总和：
答案： 旋转体体积 。
总结：
- 第27题关键在于列出 并正确求导，注意定义域和几何意义。
- 第28题关键在于分段积分。因为图形跨越了 轴，面积不能直接积，必须取绝对值；同理，旋转体的高度也是取绝对值。另外，绕 轴旋转通常首选柱壳法 ()。