练习题-估计积分

日期：2026-01-04

(简单难度) 估计积分的值

思路

核心思路：直接利用单调性放缩

观察被积函数：函数在区间上是单调递增的。
寻找上下界（常数）：
- 最小值：当时，。
- 最大值：当时，。
- 因此：。
两边同时积分：利用积分的保号性（长方形面积）：
得出结论：

(中等难度) 估计积分的值

思路

核心思路：保留“好积的”，放缩“难积的”

拆解被积函数：函数由两部分组成：和。
- 积分后是，容易计算，保留它。
- 在此组合中积分复杂，把它放缩成常数。
放缩：在区间上，是单调递减的。
- 最大值（）：。
- 最小值（）：。
- 即：。
构造不等式并积分：给上述不等式同乘（非负，不改变符号）：
同时积分：
得出结论：已知，代入得：

(中等难度) 估计积分的值

思路

核心思路：放缩分母

分析被积结构：分子是，分母是。
- 我们知道，这部分很好算，保留分子。
- 分母导致积分困难，放缩分母。
放缩分母 ：在区间上：
- 最小为 0 分母最小为 1 分数值最大。
- 最大为分母最大为分数值最小。
- 取倒数后范围：。
同乘分子并积分：同乘（在区间内非负）：
同时积分：
得出结论：因为，代入得：
(注：左边也可以写成 )