Appearance
求旋转体体积
日期：2025-12-16
28. 求圆盘 绕直线 旋转一周所成旋转体的体积。
旋转体示意图
拖动滑块 可以调整圆盘半径，观察圆盘 的大小变化。
拖动滑块 可以调整圆心到旋转轴的距离，观察圆盘绕直线 旋转后形成的圆环体，也就是红色透明部分。
旋转轴是竖直直线 ，所以我们取与旋转轴垂直的切片，也就是取水平小条（固定 ，厚度 ）。
这样每一条水平小条绕竖直轴旋转后，会形成一个圆环垫片（外圆减内圆）。
第二步：写出在固定 时，圆盘上对应的 范围
圆盘边界：。
固定一个 （满足 ），则
记
那么这一层水平线段在圆盘内的左右端点是
第三步：求旋转后圆环的外半径 与内半径
旋转轴是 ，而这一层线段最右端点是 ，最左端点是 。
- 外半径：从旋转轴 到最右端点 的距离
- 内半径：从旋转轴 到最左端点 的距离
这里 ，所以内半径确实为正，不会“穿过轴”。
第四步：写出该切片形成的圆环面积
圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积：
代入 ：
展开计算：
相减：
所以
再把 代回去：
第五步：建立体积积分
体积 = 所有圆环垫片体积微元相加：
把常数提出：
第六步：计算积分
这个积分对应的几何意义是：曲线
在 上围成的面积，也就是半径为 的上半圆面积。
- 半径为 的整圆面积：
- 上半圆面积：
因此