切线面积题

日期：2025-12-12

求曲线 的一条切线（切点 ），使该切线与直线 及曲线 所围面积最小。

下面是一个交互演示：你可以通过拖动滑块，观察切点 在不同的位置时，切线与曲线 围成的面积长啥样，大小是怎么变化的。

解题思路

1）面积怎么写成积分

因为

所以 在 凹向下，因此任意切线都在曲线之上（在 上也是上方）。所以“围成面积”就是

其中切点 。

2）写出 处切线方程

在 处切线斜率 ，过点 ，故切线方程为

把它慢慢移项：先两边乘 得 ；右边展开为 ；再把 移到右边，

3）把面积 算出来

分开算：

1）

2）

3）（分部积分）
设 ，所以

代回定积分：

把三部分相减合并（注意常数抵消）：

展开常数并合并：

要最小化只需最小化

4）求最小值点

令 。

，在 上（分子负、分母正），在 上 ，先减后增且唯一驻点在 ，由一阶导号变可知 是全局最小。

5）答案：最优切线与最小面积

最优切点：

最优切线：

最小面积：