计算旋转体的体积

日期：2025-12-04

抛物线 与直线 围成的区域，绕 旋转”非常抽象。

我们从平面到立体分三步看清楚：

1. 平面交集：

   

2. 抛物线 与直线 分别绕 旋转得到的旋转体：

• 打开“3D 外壳”：直线 绕轴旋转，得到半透明红色的外半径 。
• 打开“3D 内芯”：抛物线 绕轴旋转，得到黄色的内半径 。

3. 叠加成空心体： 最后把外壳与内壳叠在一起形成真正的旋转体，这一块可以用交互 3D 模型反复观察。

图中要点

• 白色中线就是旋转轴 ，每个薄片都围绕这根轴转。
• 红色半透明壳由直线 旋转得到——这就是圆环法中的外径 。
• 黄色网格壳由抛物线 旋转得到，是内部的空心部分，对应内径 。
• 任取一个 ，切开就能得到一个“垫圈薄片”，体积公式 就来自这张图里的外壳与内壳之间的厚度。
• 平移整体 1 单位（让旋转轴变成 ）并不会改变几何形状，只是把复杂的“绕 ”问题转化为熟悉的“绕 x 轴”公式。