爱尔信做错的题

日期：2025-12-12

10. 已知 , 下列说法不正确的是（ ）

• ① 在 上必不连续
• ② 在 上必有界
• ③ 在 上必有最值
• ④ 在 上必连续

A. ①②③④
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②③

解题思路

① “必不连续”不对（反例：常数函数）

最简单：取

则 ，而且 在 处处连续。 所以“必不连续”是假。

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④ “必连续”不对（反例：只改一个点）

还是最简单：取

则 （改一个点不影响黎曼积分），但在 不连续。 所以“必连续”是假。

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③ “必有最值”不对（反例：没有最大值）

用最经典的“取不到上界”的例子（只用简单分式）：

它在 上严格递增，最大应该是 ，但 处我故意不给它 ，而给了 ，于是：

• ，但 取不到；
• 所以 没有最大值，从而“必有最值”是假；
• 并且它仍然黎曼可积（只在一个点不连续）。

4. 设数列通项 ，下列命题正确的是（ ）

A. 发散
B. 收敛
C. 无界
D. 单调增加

解题思路

1. ，故 ，数列收敛。
2. 收敛 有界，所以 C 错；奇偶项交替，非单调，D 错。
3. 正确选项：B。