练习题-变限积分

日期：2026-01-04

这个考点的核心逻辑只有一句话：求导之前，必须把积分号里的 弄干净！

• 方法一（拆分法）：如果 是线性的（比如 ），直接提出来。
• 方法二（换元法）：如果 在函数肚子里（比如 ），必须换元 。

下面是 3 道针对性练习，难度从基础操作到综合应用。

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1. (基础难度) 设函数 ，求

思路

核心思路：拆分积分，把 提出来

陷阱提示： 很多同学直接求导得到 ，这是错的！因为积分里面的 也是变量，不能直接代入。

1. 拆分积分： 把被积函数 展开：

2. 提取常数 ： 在对 积分时， 是常数，提到外面：

3. 两边求导：

   • 第一项是乘积求导 ：
   • 第二项直接求导（把 换成 ）：

4. 合并结果：

2. (中等难度 - 你的错题变种) 已知 ，求

思路

核心思路：换元法，把 变成

1. 观察痛点： 被积函数是 ，这里的 和 缠在一起，无法直接求导。必须换元。

2. 换元操作：

   • 令 ，则 ， 。
   • 换限：；。
   • 原积分变形：
   • （注：这一步非常重要！你会发现 其实就等于 ）

3. 整理方程： 原方程变为：

4. 两边求导：

3. (进阶难度 - 结合极限) 设 连续，求极限 ，已知

思路

核心思路：洛必达法则 + 变限积分求导

1. 判断类型： 时，分子积分上限也是 0，积分值为 0，分母也是 0。这是 型极限，可以使用洛必达法则（上下同时求导）。

2. 分子求导（重点）： 设分子 。 这里需要用到第一题的方法（拆分求导）：

3. 使用第一次洛必达：

   还是 型，继续洛必达。

4. 使用第二次洛必达： 分子求导： 分母求导：

   哎呀，这里好像卡住了？题目给的条件够吗？

   修正思考：如果题目只给 ，分母还有 ，极限是无穷大。通常这类考研题会告诉你 且 或者直接求极限形式。

   为了让题目有解，我们假设题目是求 (分母降一阶)。

   重新来做分母为 的情况： 第一次洛必达后：

   第二次洛必达后：

   (结论：这类题的关键在于，能不能准确地算出 的导数是 。)