练习题-极限分类讨论

日期：2026-01-04

这个考点的核心逻辑是：“谁大听谁的”（抓大头）。

• 当底数 时， 是“老大”，是无穷大。
• 当底数 时， 是无穷小（趋于0），忽略不计。
• 当底数 时，是分界线，单独算。

下面是 3 道经典的分类讨论练习题，请一定要注意参数的范围。

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1. (基础难度) 求极限 (其中 )

思路

核心思路：比较底数 和 的大小

我们需要看 和 2 谁是“老大”。

1. 当 时： 此时底数 2 最大。 分子分母同除以 ：

因为 ，所以 。 结果 。

2. 当 时： 此时 。

3. 当 时： 此时 是“老大”。 分子分母同除以“老大” ：

因为 ，所以 。 结果 。

2. (中等难度 - 经典真题) 求极限 (其中 )

思路

核心思路：讨论 与 1 的关系

注意： 可以是正数也可以是负数，所以要用绝对值 来讨论。

1. 当 时： 此时 。

2. 当 时： 此时 （绝对值无限大）。 分子分母同除以 ：

因为 ，所以 。

3. 当 时： 直接代入：

(注：题目已排除 ，否则分母为0或震荡)

3. (进阶难度) 求极限 (其中 )

思路

核心思路：开 次方根的放缩（夹逼定理）

这道题看起来像刚才的题，但多了个开根号。我们需要判断 和 谁大。

1. 当 时： 此时 （或者趋于0）。 所以 是“老大”。 利用夹逼定理：

当 时，，。 所以极限为 1。

2. 当 时： 此时 ，且 。 所以 是“老大”。 我们可以提取 ：

因为 ，所以 。 且 。 所以极限为 。

总结： 结果可以写成 。