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计算题-围成的面积
日期：2025-12-22
第 27 题：定积分的应用（面积平分问题）
【题目】 已知直线 ( 为待定常数) 平分由曲线 和直线 所围成的平面图形面积，求 。
【解题步骤】
分析图形与积分变量：
- 曲线为抛物线 ，在第一象限内可以写为 。
- 所围图形是关于 轴对称的，通常只需计算第一象限部分（）的面积即可，因为平分总面积等于平分第一象限部分的面积。
- 积分变量选择 比较方便，因为直线是水平的 和 。
列出面积等式：
- 总面积（ 从 0 到 1）：
- 由于 平分总面积，所以从 0 到 1 的积分值应该是从 0 到 积分值的 2 倍。
- 即：
计算积分：
- 根据幂函数积分公式 ，这里 。
- 左边：
- 右边：
解方程：
- 由
- 两边同除以 得：
- 即
- 两边同时平方：
- 开立方根： （也可以写成 或 ）
【答案】
第 28 题：旋转体体积（圆环/甜甜圈形状）
【题目】 求以点 为圆心， 为半径的圆绕 轴旋转一周所形成的立体体积。 （参考公式：）
此题即求解一个**圆环面（Torus）**的体积。我们可以用两种方法来解：图2中的官方解析（柱壳法）和图3中的手写解答（圆盘/垫圈法）。
方法一：柱壳法 (Shell Method) —— 官方解析思路
【思路解析】 将旋转体看作由无数个极其薄的圆柱壳（圆筒）嵌套而成。 体积公式： （其中 是旋转半径， 是圆柱高度）。
【步骤】
确定方程与范围：
- 圆方程：
- 高度 的表达式：
- 对于每一个 ，圆柱壳的高度是上半圆减去下半圆，即 。
- 的积分范围是圆的最左端到最右端：，即 。
列出积分式：
换元计算：
- 令 ，则 ，。
- 积分限变化：当 时 ；当 时 。
- 代入得：
- 拆分积分：
利用奇偶性简化：
- 第一部分 ：被积函数是奇函数（），积分区间对称，结果为 0。
- 第二部分 ：这是偶函数，且 几何意义是半径为1的半圆面积，即 。
得出结果：
方法二：圆盘法/垫圈法 (Washer Method) —— 手写解答思路
【思路解析】 将旋转体水平切片，每一片是一个空心的圆环（垫圈）。 体积公式： （其中 是外半径， 是内半径）。
【步骤】
由圆方程导出 ：
- 所以 。
- 积分范围： 从 到 。
确定内外半径：
- 外半径（圆右侧到y轴距离）：
- 内半径（圆左侧到y轴距离）：
计算截面圆环面积 ：
- 利用平方差公式 ，这里 。
列出体积积分：
计算定积分：
- 利用对称性，积分区间改为 到 的 2 倍：
- 利用题目给的参考公式（或三角代换 ）：
- 代入上下限：
- 当 ：前项为0，后项为
- 当 ：两项均为0。
【答案】 体积
【总结】
- 第27题考察了基本的定积分计算和图形理解能力，关键在于列出“面积平分”的等式。
- 第28题是一个经典的旋转体体积问题。手写解答使用的是“垫圈法”（横向切片），官方解答使用的是“柱壳法”（纵向切片）。两种方法殊途同归，答案都是 。这也符合古尔丁定理（Pappus's Centroid Theorem）：体积 = 旋转面面积 重心经过的路程 = 。