证明题-不等式

日期：2025-12-17

26. 证明：当时，。

证明步骤

证：

第一步：构造辅助函数 令。我们要证明的原不等式即转化为证明：当时，。

显然在上连续且可导。

第二步：求导数（这是关键一步，我们要细心计算） 对求导：

利用积的求导法则：

前半部分：
后半部分：

将两部分合并：

提取公因式：

第三步：判断导数的符号 题目给定条件为。

看第一项： 因为，所以（负数）。
看第二项： 我们要比较指数和的大小。作差比较：。因为，所以，即。又因为指数函数是单调递增的，所以。因此，（负数）。

综合判断： 是两个负数相乘：

第四步：根据单调性得出结论 因为当时，，所以函数在上是单调递增的。

此时我们计算端点时的函数值：

因为单调递增，且，所以当时，恒有。

即：

证毕。