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计算题-成本和收入
日期：2025-12-23
第 29 题：经济应用（成本、收益与利润）
【题目】 某产品总成本 为月产量 的函数： (元)。 产品销售价格为 ，需求函数为 。
(1) 求当 时的总成本和边际成本； (2) 求总收入函数，当价格 为多少时总收入最大？最大收入是多少？
【解题步骤与解析】
(1) 求 时的总成本和边际成本
求总成本 ： 直接把 代入总成本公式：
求边际成本 (Marginal Cost)： 边际成本是总成本对产量 的导数，即 。
计算 时的边际成本：
解释：边际成本表示当产量为10时，再多生产1个单位产品，成本大约增加11元。
(2) 求总收入函数及最大收入
建立总收入函数 (Total Revenue)： 总收入 = 单价 销量。 题目要求关于价格 的函数，所以：
代入需求函数 ：
求最大值： 这是一个关于 的二次函数，开口向下，有最大值。我们可以通过求导来找极值点。 求导：
令导数为 0 求解驻点：
验证极值： 二阶导数 ，说明在 处取得极大值（也是最大值）。
计算最大收入： 将 代入收入函数 ：
【最终答案】 (1) 当 时，总成本为 185元，边际成本为 11元。 (2) 总收入函数为 ；当价格 时总收入最大，最大收入为 1250元。
25. 已知某停车场有 50 个停车位出租，当租金为 2000 时，可全部租出。然而每当租金增加 100 时，就会有一个车位租不出去，且租出去的每个车位需要花费 100 维护费。问当租金为多少时，可获得最大收入？
题目中提到的“收入”在有成本（维护费）的情况下，通常指的是净利润（总收入 - 总成本）。
- 如果不计成本（只算营业额），解法就是图片中手写的那样。
- 计入成本（严谨解法），我们需要用 (单价 - 维护费) × 数量 来建立函数。
三、 详细解题步骤
解：
设未知数： 设租金在 2000 的基础上增加了 个 100 元（即租金增加了 元）。
表示出相关量：
- 每个车位的租金： （元）
- 租出的车位数量： （个）
- 每个车位的净收益： (租金 - 维护费) （元）
建立函数关系式： 设停车场的总收入（净利润）为 元。
化简并求解最值： 为了计算方便，可以先提取公因数 100：
展开括号：
这是一个开口向下的二次函数，我们需要找到顶点（最大值点）。 根据二次函数顶点坐标公式 ：
讨论实际意义（取整数）： 因为题目中提到“每增加100，少租一个”，且车位数量必须是整数（不能租出半个车位），所以 必须取整数。
抛物线的对称轴是 ，距离对称轴越近，函数值越大。 离 最近的两个整数是 和 。
由于 和 距离对称轴 的距离相等（都是 ），所以当 或 时，都能获得相同的最大收入。
计算最终租金：
- 情况一 (x=15)： 租金 （元）
- 情况二 (x=16)： 租金 （元）
(注：通常这类考试如果不要求唯一答案，两个都对。如果为了和图片上的手写结果一致，取3500即可。我们可以验证一下利润： 当租金3500时，租出35个，单利3400，总利 119,000。 当租金3600时，租出34个，单利3500，总利 119,000。)
答：当租金定为 3500 元（或 3600 元）时，可获得最大收入。