可导极限题

日期：2025-12-12

设可导函数 满足 ，求

解题思路

因为出现了 ，所以极限默认是 。

第一步：由已知数列极限推出

已知

当 时，。若 ，由于 可导 连续，则

从而 ，与极限为 矛盾，所以必须有

第二步：把给定极限改写成 的极限，得到

令 ，则 ，且 。于是

对 取极限：

又因为 在 0 处可导 且 ，所以

特别地，沿着任意趋于 0 的数列（包括 ）都应趋于同一个值，因此

第三步：计算目标极限

用基本展开（或等价无穷小）：

令 （），得到

因此

答案：