证明题-数列收敛

日期：2025-12-22

第一题

题目： 设数列 满足 ，且 。 证明数列 收敛，并求其极限。

出题意图： 这道题和你原题的 是同一个模子出来的，是专升本教材里最标准的例题。

【解题步骤】

1. 看趋势（草稿纸上算一下）： 因为 ，所以我们要证：单调递增 + 有上界。

2. 证明单调递增（用数学归纳法，考试通用写法）：

   • 当 时，，成立。
   • 假设 时 成立。
   • 则 。
   • 所以数列单调递增。

3. 证明有上界（猜个界，通常是极限值）：

   • 猜想上界是 2（因为 ）。
   • 显然 。
   • 若 ，则 。
   • 所以数列有上界 2。

4. 求极限： 设 。 由 两边取极限得： 解得 或 （舍去）。 答案：极限为 2。

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第二题

题目： 设数列 满足 ，且 。 证明数列 收敛，并求其极限。

出题意图： 没有根号，只有简单的加减乘除。这是最简单的收敛模型，考察你对准则的直接应用。

【解题步骤】

1. 看趋势： 显然 ，我们要证：单调递增 + 有上界。

2. 证明单调递增（做差法，比归纳法更简单）：

   只要证明 ，这个差就大于0。这直接引出下一步。

3. 证明有上界（上界是 2）：

   • 使用数学归纳法。
   • 时，，成立。
   • 假设 ，则 。
   • 所以 恒成立。
   • 结合第2步，因为 ，所以 ，即单调递增。

4. 求极限： 设 。 由递推式得： 移项：。 答案：极限为 2。

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第三题

题目： 设数列 满足 ，且 。 证明数列 收敛，并求其极限。

出题意图： 把“加法”换成了“乘法”，本质没变，但很多同学看到不是加号会发懵。这也是专升本常考题型。

【解题步骤】

1. 看趋势： 显然 ，目标：单调递增 + 有上界。

2. 证明单调递增（比值法）： 因为 ，我们可以算 。

   只要 ，这个比值就 ，数列就递增。

3. 证明有上界（上界是 3）：

   • 时，。
   • 假设 ，则 。
   • 故 恒成立。
   • 因为有上界 3，结合第2步可知数列单调递增。

4. 求极限： 设极限为 。 两边平方：。 因为 且递增，极限不可能为 0，所以 。 答案：极限为 3。