证明题-存在一个点

日期：2026-01-04

27. (5分) 函数

求证： 在区间上存在一点使。

要证明“在某个区间内存在一点导数为0”，最直接的工具就是罗尔定理。

罗尔定理的内容： 如果函数满足以下三个条件：

那么，在内至少存在一点，使得。

本题难点： 题目给出的区间是，但在时，。也就是。因此，我们不能直接在上用罗尔定理。我们需要缩小区间，找到一个新的右端点（在到之间），使得。

已知（题目定义）。我们需要找一个，使得。令。因为，所以必须。即 ( 为整数)，解得。

我们可以取都可以。图片中的解答取了（即的情况）。因为，这个点确实在定义域内。此时。

所以，我们要构造的区间是。

在处： 我们要看是否等于。
由于（有界函数），而（无穷小量）。根据“无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量”，得：
因为，所以。 结论：函数在处右连续。
在上： 是由初等函数和组成的，自然是连续的。

综上：在闭区间上连续。

在开区间内，求导：

显然，在时，导数是存在的。

综上：在开区间内可导。

我们现在有：

根据罗尔定理，在内至少存在一点，使得。

因为（即这个小区间是包含在大区间里的），所以在上也必然存在这点，使得。

证明完毕。

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