求曲线和切面围成的面积

日期：2025-12-16

25. 求抛物线 与其在点 和 处的切线所围成的图形的面积。

示意图

勾选/取消“填充面积、抛物线、切线、关键点”即可看清两段上边界的切换，理解为何需要分段积分：

这道题的解题核心在于：需要分段积分。

下面是详细的步骤解析：

第一步：求切线的斜率

首先，我们需要求导数来确定切线的斜率。 抛物线方程为：

求导：

第二步：求两条切线的方程

我们需要分别求出在点 和 处的切线方程。

1. 在点 处的切线（记为 ）：

• 把 代入导数公式求斜率：
• 利用点斜式写方程：整理得：

2. 在点 处的切线（记为 ）：

• 把 代入导数公式求斜率：
• 利用点斜式写方程：整理得：

第三步：求两条切线的交点

这一步非常关键，因为这个交点的横坐标就是我们需要分段积分的分界点。

联立两条切线方程：

解这个方程：

把 代入任一方程求 ：

所以交点坐标是 。

第四步：分析图形并列出积分式

• 图形位置关系：抛物线开口向下（因为 系数是负的），所以切线在抛物线的上方。
• 围成区域：
  • 下方边界一直是抛物线 。
  • 上方边界在 时是切线 （）；在 时是切线 （）。

因此，面积 需要分成两部分计算：

第五步：计算定积分

计算第一部分面积 （从 到 ）：

化简被积函数（这步很重要，你会发现很多项消掉了）：

计算第二部分面积 （从 到 ）：

化简被积函数：

注意：这里 正好是 。

代入上下限计算：

第六步：得出最终结果

总面积：

或者用分数表示：

答案： 所围成图形的面积为 （或 ）。