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计算题-求极限
日期：2025-12-20
求极限：
解题步骤：
这是一道典型的 型未定式极限题。解题的通用方法是利用对数恒等式 将幂指函数转化为指数函数的形式。
第一步：利用指数与对数转换
将原式变形：
根据对数性质 ，将指数 提下来：
根据连续函数的性质，我们可以先求指数部分的极限。
第二步：计算指数部分的极限
我们需要计算指数上的极限 ：
利用等价无穷小代换（图片中的解法）： 当 时，，所以 。 我们可以将 凑成 的形式，利用等价无穷小 (当 )。
因为当 时，括号内的 ，所以：
因此，指数极限 转化为：
第三步：将乘积形式转化为分式形式（洛必达法则准备）
将 放到分母上，变为 ，构造 型未定式：
第四步：使用洛必达法则
对分子和分母分别求导：
- 分子求导：
- 分母求导：
代入极限式：
第五步：化简并求极限
整理繁分数：
当 时， 的极限显然为 （分子分母同时除以 可得）。 所以：
第六步：写出最终结果
回到第一步的指数形式，原极限为 ：