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计算题-旋转体体积
日期：2026-01-24
四、应用题（本大题共 1 个小题，共 10 分）
25. 已知平面图形由抛物线 与该曲线在点 处的法线围成。试求： (1) 该平面图形的面积； (2) 该平面图形绕 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
详细解析
第一步：求法线方程
为了确定围成图形的边界，首先需要求出抛物线在点 处的法线方程。
求导数（切线斜率）： 对抛物线方程 两边关于 求导（隐函数求导）：
将点 的纵坐标 代入，得到切线斜率：
求法线斜率： 法线与切线垂直，其斜率 为切线斜率的负倒数：
写出法线方程： 利用点斜式方程 ：
整理得：
第二步：确定交点与积分区域
求解抛物线与法线的交点，以确定积分的上下限。
联立方程组：
让两个 相等：
因式分解：
解得 。
对应的 坐标：
- 当 时， ，即点 。
- 当 时， ，即点 。
结论： 平面图形在 方向上的积分区间为 。
(1) 求平面图形的面积
选择对 进行积分比较简便，因为图形在 轴方向上是连续的“右减左”形式。
- 右边界： 直线
- 左边界： 抛物线
积分公式：
计算过程：
代入上下限计算：
- 上都在 处的值：
- 下限在 处的值：
最终结果：
(2) 求绕 轴旋转体的体积
图形绕 轴旋转。我们可以利用圆盘法/圆环法，对 进行积分。
分析旋转半径： 图形分布在 上。
- 外轮廓（Outer Radius）： 无论在哪个 处，抛物线 (即 ) 构成了旋转体的最外层边界。
- 内轮廓（Inner Radius）：
- 在 区间内，图形跨越了 轴（一部分在轴上，一部分在轴下），旋转后形成实心体，没有空心部分。
- 在 区间内，法线 位于 轴下方，抛物线也位于下方。旋转时，直线与 轴之间的部分是空的。因此需要减去这部分“圆锥”体积。
计算策略： 体积 = (抛物线 绕 轴旋转形成的旋转抛物面体积) - (直线与 轴围成的空心部分体积)。
公式：
其中：
- 外半径对应的函数是 。
- 内半径（空心部分）对应的函数是 ，即半径为 。
计算过程：
分别计算两个积分：
第一个积分：
第二个积分（令 或直接积分）：
代入上限 ： 代入下限 ： 所以第二个积分值为 。
相减求总体积：
答案： (1) 面积为 ； (2) 体积为 。
23. 求极限 .
详细解析
核心思路：利用“定积分的定义”（黎曼和）
当看到极限式子中是 项之和，且每一项都随着 的变化而变化，同时具有 的结构特征时，通常要将其转化为定积分来计算。
定积分定义公式（黎曼和）：
解题步骤
第一步：提取公因式 ，凑出 的形式
我们需要将原式变形为 的样子。
原式为：
也可以写成求和符号形式：
为了出现 和 ，我们将通项 的分子分母同时除以 （或者提取分母中的 ）：
于是，原极限变为：
第二步：对应定积分的要素
将变形后的式子与定积分定义 进行对比：
- 变化量 ： 对应式子中的 。积分区间长度为 ，被分成了 等份。
- 变量 ： 对应式子中的 。
- 当 时，（积分下限）。
- 当 时，（积分上限）。
- 所以积分区间是 。
- 被积函数 ： 式子中是 ，把 替换成 ，得到函数 。
第三步：转化为定积分并计算
根据上述分析，极限转化为如下积分：
第四步：计算定积分
利用基本积分公式 ：
因为 ，所以最终结果为：
总结
这道题的答案是 。
关键点回顾：
- 识别特征： 看到形如 的无穷项求和，优先想到定积分定义。
- 构造形式： 强行提取 ，构造出 的结构。
- 确定函数： 将 视为 ，写出被积函数 。
- 积分计算： 不要算错简单的对数积分。