计算题-围成的面积

日期：2025-12-20

第 23 题

题目： 把长度为 的铁丝围成如图所示图形，其顶部为半圆弧，下部为矩形，问所围成的图形面积最大时，矩形的宽和矩形的高之比值为多少？

解题步骤：

1. 设定变量 设矩形的宽为 （即半圆的直径），矩形的高为 。那么半圆的半径就是 。

2. 建立约束条件（周长） 铁丝的总长度 由三部分组成：顶部的半圆弧长、两侧的竖直边长、底部的水平边长。（注意：矩形顶部的边在图形内部，不属于外围铁丝）。

• 半圆弧长：
• 矩形的三条边：

所以总周长方程为：

由此可以解出 关于 的表达式：

3. 建立目标函数（面积） 图形的总面积 = 半圆面积 + 矩形面积。

将 ① 式中的 代入面积公式：

4. 求极值 对 求导并令导数为 0：

令 ，解得唯一驻点：

由于 ，所以该点为极大值点，也就是最大值点。

5. 计算宽高比 题目问的是“矩形的宽和矩形的高之比值”。

• 矩形的宽
• 矩形的高

我们需要计算此时 的值。将 代入 ① 式：

提取公因式 并通分：

我们发现此时 。

最后计算比值：

答案： 当所围图形面积最大时，矩形的宽和矩形的高之比值为 2。

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第 24 题

题目： 已知一曲线 和直线 。 (1) 求曲线 与直线 所围成图形的面积； (2) 求曲线 与直线 所围成图形绕 轴旋转一周生成的旋转体的体积。

解题步骤：

第一步：确定交点 联立方程组：

令 ，得：

解得 。 对应的 坐标为：。 所以交点为 和 。

注意： 本题选取 作为积分变量最简单，因为在 区间内，直线 始终在抛物线 的右侧，不需要分段。

(1) 求图形面积

利用公式 ：

计算定积分：

代入上下限： 上限 ():

下限 ():

相减得面积：

答案 (1)：面积为 18。

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(2) 求绕 y 轴旋转的体积

绕 轴旋转，且积分变量为 ，应使用圆环法（大圆面积减小圆面积积分）。 旋转体外半径 。 旋转体内半径 。

体积公式：

计算定积分（寻找原函数）：

代入数值计算（这一步比较繁琐，需仔细）：

代入上限 4：

代入下限 -2：

两式相减： 常数项： 项： 项：

总和：

或者用分数表示：

答案 (2)：体积为 （或 ）。