计算题-数列求极限

日期：2025-12-22

第 23 题：数列极限证明与计算

【题目】 已知数列：。 证明该数列收敛，并求其极限。

【解题步骤与解析】

这道题主要考察单调有界准则（Monotone Convergence Theorem）：如果一个数列单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列一定收敛。

第一步：证明数列单调递增

1. 构造函数： 令 。 由递推公式可知 。

2. 判断单调性： 对 求导：

   因为 ，所以 ，从而 。 这说明 是一个增函数。这意味着如果 ，那么 ，即 。

3. 验证首项： 显然 。 根据增函数的性质，可推导 ，以此类推，对任意正整数 ，都有 。 结论：数列 单调递增。

第二步：证明数列有上界

我们猜想上界为 3（因为 很接近）。用数学归纳法证明 ：

1. 当 时，，成立。
2. 假设当 时， 成立。
3. 那么当 时： 。 结论：数列 有上界（上界为 3）。

第三步：求极限

根据单调有界准则，数列必收敛。 设 。

1. 对递推公式两边取极限：

2. 解方程： 两边平方： 移项： 利用求根公式 ：

3. 确定有效根： 因为 ，极限值 必须为正数，所以舍去负根。

【最终答案】 数列收敛，其极限为 。