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计算题-2月底
日期：2026-03-08
题目1（单调性与参数范围）
已知在上是单调递增的，则的取值范围是______。
题目4（函数对称性判断）
函数的图形关于______对称。
A. 轴
B. 轴
C. 原点
D. 直线
题目5（定积分与最值、旋转体体积）
设曲线，直线与轴所围成的图形为，其面积记为；曲线，直线与直线所围成的图形为，其面积记为。
(1) 当取何值时，最小；
(2) 当最小时，求绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
题目8（渐近线条数判断）
曲线的水平和垂直渐近线条数为______。
题目9（分段函数求导）
已知函数求。
题目10（可导的充分条件判断）
设在点的某邻域内有定义，则在点处可导的一个充分条件是______。
A. 存在
B. 存在
C. 存在
D. 存在
题目11（偶函数的极值与拐点）
设为偶函数，且二阶可导，，则下列结论正确的是______。
A. 不是的驻点
B. 不是的极值点
C. 是的极值点
D. 是的拐点
解析
题目1（单调性与参数范围）
答案： （若题目意指严格单调递增，则为 ）
解题步骤：
- 求导数： 对函数 求一阶导数（使用商的求导法则）：提取公因式 并化简：
- 分析单调性条件： 因为函数在区间 上单调递增，所以要求在该区间上 恒成立。
- 结合区间分析符号： 当 时：
- 分母 ；
- 分子中的 。 要使 ，必须满足 。 因为 ，所以必然有 。
题目4（函数对称性判断）
答案： B. 轴
解题步骤：
- 判断函数的定义域： 要求 。因为对于任意 ，，而 弧度约等于 ，所以在该区间内 除 外均大于 。定义域关于原点对称。
- 判断函数的奇偶性： 计算 ：因为 ，所以 。
- 得出结论： 因为 ，所以 是一偶函数。根据偶函数的几何性质，其图像关于 轴 对称。
题目5（定积分与最值、旋转体体积）
解题步骤：
(1) 求 的值使 最小
- 计算面积 ： 是由 （右）、（左）、（下，隐含交点）和 （上）围成。对 积分：
- 计算面积 ： 是由 （左）、（右）、（下）围成。曲线 与 的交点纵坐标为 （上）。对 积分：
- 求总面积 的最小值：对 求导并令其等于 0（注意 ）：解得 。 （验证：当 时 ；当 时 ，故此处取得最小值）。
(2) 求 绕 轴旋转一周的体积 此时 。 的范围是 ，外边界为 （直线 ），内边界为 （曲线 ）。
- 使用圆环法（垫片法）沿 轴积分：
- 计算定积分：
题目8（渐近线条数判断）
答案： 水平渐近线 条，垂直渐近线 条。
解题步骤：
- 确定定义域： 要求 且 ，所以定义域为 。
- 找垂直渐近线（检查定义域的开区间端点 和 ）：
- 当 时，，，所以 。故 是一条垂直渐近线。
- 当 时（无论从左侧还是右侧），。但 ，。所以 。故 （即 轴）也是一条垂直渐近线。
- 找水平渐近线（检查 ）：
- 当 时，，，所以 。因此 没有 水平渐近线。
题目9（分段函数求导）
解题步骤：
- 当 时： 使用商的导数公式求导：
- 当 时：
- 探讨 处的导数（需用导数定义分别求左右导数）： 先验证 处的连续性：，，连续。
- 左导数：。
- 右导数：。 应用洛必达法则（或泰勒展开 ）：
- 综上所述：（注： 时导数不存在）
题目10（可导的充分条件判断）
答案： A
解题步骤： 根据导数的定义：。要使函数可导，该极限必须存在（包含左右极限存在且相等）。
- A 选项：令 ，当 时 。则极限变形为 。若该极限存在，说明导数定义的极限存在（且等于此极限值的一半），故为充分条件。
- B 选项：令 ，当 时 。原式等价于 。这仅仅是右导数存在，不能保证左导数也存在，故不是充分条件。
- C 选项：这是“对称导数”，无法保证原函数可导。反例： 在 处。 存在，但绝对值函数在 处不可导。
- D 选项：令 ，当 时 。原式变为 ，同样仅仅是右导数存在，不是充分条件。
题目11（偶函数的极值与拐点）
答案： C
解题步骤：
- 利用偶函数的性质分析一阶导数： 因为 为偶函数，所以 。 对两边求导，根据复合函数求导法则得到：。这说明 是一奇函数。 将 代入得：，从而推出 。 所以 是 的一个驻点，A选项错误。
- 利用二阶导数判断极值： 已知二阶可导且 。 根据极值的第二充分条件：
- 如果 ，由于 ，函数在 处取得极大值。
- 如果 ，由于 ，函数在 处取得极小值。 无论哪种情况， 都是 的极值点。故B错误，C正确。
- 判断拐点： 由于 为偶函数（奇函数 的导数是偶函数），在 左右两侧， 的符号不会发生改变。不满足拐点“二阶导数变号”的条件，所以 不是拐点。D错误。