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填空题-n阶求导
日期：2025-12-16
第 2 题
题目： 设 ，则 .
解题步骤：
化简函数解析式： 直接求导比较麻烦，利用平方差公式先进行化简。
因为 ，所以：
提取负号，利用二倍角公式 ：
求一阶导数 ：
求二阶导数 ：
答案：
第 3 题
题目： 已知 ，其中 任意阶可导，则 .
题目给的是
要求 ，其实就是两边对 连续求两次导（因为从 阶到 阶差 2 阶）。
先求一次导：
而
所以
再求一次导：
对 用乘积法则：
其中
代回去：
再乘外面的 ：
填空答案：
第 4 题
题目： 已知 ，则 .
解题步骤：
0. 原函数
1. 一阶导
用乘积求导 ，取
所以
2. 二阶导
对
再用乘积求导。取
所以
合并同类项：
3. 三阶导
对
再求导，仍取
所以
合并：
4. 四阶导
对
求导，取
所以
合并：
5. 五阶导
对
求导，取
所以
合并：
6. 六阶导
对
求导，取
所以
合并：
7. 七阶导
对
求导，取
所以
合并：
8. 八阶导
对
求导，取
所以
合并：
9. 九阶导
对
求导，取
所以
合并：
10. 十阶导
对
求导，取
所以
合并：
11. 代入
最终答案
这种题在专升本里最快的方法就是用泰勒展开/幂级数（比一遍遍求导快太多）。
已知
而
所以
我们要找 。
在 里，指数 。
所以 的系数是
于是
答案：