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模拟卷
日期：2026-02-15
9. 已知可导函数 是 的一个原函数，且 在 上是奇函数，则函数 是
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既奇又偶函数
2. 下列各组函数中是相同函数的是
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
5. 已知 则
A.
B.
C.
D.
18. 不定积分 ________.
13. 有一个实心的球形巧克力，半径为 ，在制作过程中，外层均匀裹上一层厚度为 的巧克力酱，则裹上巧克力酱后增加的体积大约是 ________ ( 取 3.14 ).
解析
9. 已知可导函数 是 的一个原函数，且 在 上是奇函数，则函数 是
答案：B
【解析】
定义回顾：
- 因为 是 的原函数，所以 的导数等于 ，即 。
- 已知 是奇函数，根据奇函数的定义：。
推导： 对等式 两边同时关于 求导：
- 左边求导（利用复合函数求导法则）：。
- 右边求导：。
- 联立两边：，即 。
结论：
- 因为 ，代入上式得：。
- 满足 的函数为偶函数。
【总结】 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
2. 下列各组函数中是相同函数的是
答案：C
【解析】 判断两个函数是否相同（即同一函数），必须同时满足两个条件：
- 定义域相同；
- 对应法则（化简后的解析式）相同。
A 选项：
- ，定义域要求 ，即 。
- ，定义域要求 。
- 结论：定义域不同，不是相同函数。
B 选项：
- ，定义域要求 ，即 （ 可正可负）。
- ，定义域要求 。
- 结论：定义域不同，不是相同函数。
C 选项：
- 。因为 ，所以定义域为 。化简后 。
- ，定义域为 。
- 结论：虽然自变量用字母 和 不同，但这不影响函数的本质。二者定义域均为 ，对应法则均为“自变量的立方”，故是相同函数。
D 选项：
- 。
- 。
- 结论：当 时，。对应法则不同，不是相同函数。
5. 已知 则
答案：D
【解析】 我们需要计算 阶导数。利用导数的线性性质，可以分别对两项求 阶导数。
第一项 的导数：
- ...
- 阶导数：。
第二项 的导数：
- 首先展开常数：。
- 求 的 阶导数：
- ...
- 。
- 所以，。
合并：
注意：选项中 表示 。
填空题部分
18. 不定积分 ________.
答案： （或者 ）
【解析】方法一：凑微分法（分子加减项）
对于第二部分，由于 ，即 ，同时也等于 。
(注： 恒大于0，绝对值符号可省略)
方法二：换元法 令 ，则 ，且 ，即 。
13. 有一个实心的球形巧克力，半径为 ，在制作过程中，外层均匀裹上一层厚度为 的巧克力酱，则裹上巧克力酱后增加的体积大约是 ________ ( 取 3.14 ).
答案：
【解析】 本题考察利用微分来进行近似计算。
建立模型： 球的体积公式为 。
求微分： 体积 关于半径 的导数为： （这也是球的表面积公式）。 体积的微分（近似增量）为： 。
代入数据：
- 原始半径
- 半径增量（厚度）
计算：
补充说明： 如果使用精确计算（）： 。 但在微积分考题中，通常出现“大约”、“近似”字样且增量较小时，意在考察微分公式 的应用，因此 为该考点的预期答案。
计算题
23. 求函数 的导数 .
24. 已知函数 ，求参数 的取值范围，使得函数 在区间 上单调递减.
24. 设 求 .
21. 求极限 .
21. 求极限 .
23. 求不定积分 .
24. 用定积分的定义求 .
详细解析：
23. (第一题) 求函数 的导数 .
【解析】 这是一个幂指乘除混合的复杂函数，直接使用商的导数公式会非常繁琐。最简便的方法是使用 “对数求导法”。
两边取自然对数： 利用对数的性质 。
两边关于 求导： 注意左边 是关于 的复合函数，导数为 。
解出 并代回 ：
将原函数代入，得最终结果：
24. (第一题) 已知函数 ，求参数 的取值范围，使得函数 在区间 上单调递减.
【解析】
求导数：
由单调性建立不等式： 要使 在区间 上单调递减，则必须满足：
即：
分离参数： 因为 ，所以 (即 为负数)。 不等式两边同时除以 （负数），不等号方向改变：
求解范围： 上式要求对任意 恒成立，这意味着 必须小于或等于 在该区间上的最小值。 令 。在 上， 的值域是 。 所以 的最小值是 （当 时取得）。
答案： 的取值范围是 。
24. (第二题) 设 求 .
【解析】 这是一个涉及分段函数和换元积分的定积分题目。
换元： 令 ，则 ，。 积分限变换：当 时，；当 时，。 原积分变为：
分段积分： 根据 的定义，在 和 时表达式不同，因此需要在 处拆分积分区间。
代入解析式计算：
- 当 时，。
- 当 时，。
计算数值：
- 第一部分：。
- 第二部分：.
答案：
21. (第一题) 求极限 .
【解析】 这是一个 形式的变体（实际上结果是常数），考察对重要极限 的理解精度。
分析： 我们知道重要极限 。 因此直接代入极限值，表达式变为 。
(注：如果在考试中，题目是 ，则需要用泰勒公式展开计算，结果为 。但根据本题目前的书写，没有前面的系数 。)
计算：
答案：
21. (第二题) 求极限 .
【解析】 这是一个 型的不定式极限，通常通过变量代换转化为 型。
变量代换： 令 ，则 。 当 时，。
三角恒等变形：
利用重要极限： 已知 ，所以 。
答案：
23. (第二题) 求不定积分 .
【解析】 被积函数含有 形式，适合使用三角换元法。
三角代换： 令 。 则 。 分母部分：
(注意在设定区间内 )
代入积分：
回代变量： 已知 。我们可以构造一个直角三角形： 对边为 ，邻边为 ，斜边为 。 所以 。
最终结果：
24. (第三题) 用定积分的定义求 .
【解析】 定积分的定义是黎曼和的极限。即 。
分割： 将区间 等分成 份，每份长度 。 分点坐标为 。
近似求和： 选取每个子区间的右端点作为 ，即 。
求和运算： 利用求和公式 和 。
取极限： 令 ：
答案：
应用题
25. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 ，四周空白的宽度为 ，两栏之间的中缝空白的宽度为 . 怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？
证明题
26. 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，证明至少存在一点 ，使得 .
应用题
25. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 ，四周空白的宽度为 ，两栏之间的中缝空白的宽度为 . 怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？
【解析】
设定变量与建立模型 设每个阴影矩形栏目的宽为 ，高为 。 根据题意，两栏面积之和为 ，即：
接下来表示整个矩形广告的尺寸：
- 广告的总宽 ：包含两个栏目的宽 ()，左右两边的空白 ()，以及中间的缝隙 ()。
- 广告的总高 ：包含栏目的高 ()，以及上下两边的空白 ()。
构建目标函数 设矩形广告的总面积为 ，则：
将 代入上式，将二元函数转化为一元函数：
求最值方法一：利用导数求最值 对 求导：
令 ，解得驻点：
因为 ，所以 。
判断单调性：
- 当 时，，函数单调递减；
- 当 时，，函数单调递增。 因此，当 时， 取得最小值。
方法二：利用基本不等式（均值不等式）
当且仅当 ，即 时取等号。
计算广告尺寸 当 时：
- 栏目高 。
- 广告总宽：。
- 广告总高：。
【结论】 当矩形广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，能使矩形广告面积最小。
证明题
26. 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，证明至少存在一点 ，使得 .
【证明】
构造辅助函数 要证明 ，即证明 。 这通常对应于辅助函数 或 的导数为零的情况。
令辅助函数 。 则 。 若能证明存在 使得 ，由于 ，即可推出 。
寻找罗尔定理所需的两个零点 我们需要找到两个点 ，使得 。
第一个点： 由已知 ，则：
所以， 是 的一个零点。
第二个点： 由已知 。 因为 在 上连续，所以在 上也连续。 根据积分中值定理，在 上至少存在一点 （），使得：
即 ，从而解得 。
此时计算 ：
所以， 是 的另一个零点，且 。
应用罗尔定理 考察函数 在区间 上：
- 在 上连续（因为 和 都连续）；
- 在 内可导（因为 和 都可导）；
- 。
根据罗尔定理，至少存在一点 ，使得 。
由于 ，区间 ，所以 。
得出结论 由 ， 因为 恒成立， 所以必有 。
证毕。