利用导数的定义求极限

日期：2025-12-04

题目：设，求。

第一步：观察 👀

题目里给了。回顾一下（导数）的定义公式长什么样？

找不同：
- 公式的分母是。
- 题目里的分母是。

题目和公式长得不一样，唯一的区别就是分母。所以我们的目标很明确：把题目里的变成我们要的。

第二步：变形与拆分

1. 处理分母 你应该很熟悉平方差公式：。所以，可以拆成。

2. 代入原式 把分母替换掉，原来的式子就变成了：

3. 关键一步： 为了让“想要的部分”显露出来，我们把这一个大分数，拆成两个小分数相乘：

为什么要拆？
- 左边正好就是导数的定义（那是我们想要的）。
- 右边是剩下的部分（那是我们能直接算出来的）。

第三步：计算极限（收尾）

现在我们分别算这两个部分：

左边部分：
这完全符合导数定义，题目直接告诉了我们。所以这一块等于 1。
右边部分：
这是一个普通的连续函数，直接把代进去算就行了：
相乘得出结果：