计算题-估计积分

日期：2026-01-04

26. 估计积分 的值。

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题目关键词是“估计”而不是“计算”。

估值法的核心逻辑：

如果我们能找到函数 的上下界，即 ，那么积分的值就在这两个边界函数的积分之间。

所以，我们首先需要寻找被积函数 的最大值和最小值。

第一步：分析分母的变化范围

我们观察积分区间是 。 在这个区间内，分母中的项 是单调递增的。

• 当 时， （最小值）
• 当 时， （最大值）

所以：

第二步：取倒数（构建不等式）

我们要凑出原来的函数形式，首先对上述不等式取倒数。 注意： 取倒数时，不等号方向要改变。

即：

第三步：两边同乘

因为在区间 上，，所以给不等式各项同时乘以 ，不等号方向不变。 这样就凑出了题目中的被积函数：

第四步：两边同时积分

根据定积分的比较定理（若 ，则 ），我们可以对不等式三边同时在 上积分：

第五步：计算左右两边的简单积分

现在的任务是计算两边简单的幂函数积分。

• 右边（上限）：

• 左边（下限）：

  进行分母有理化（分子分母同乘 ）：

第六步：得出结论

将算出的值代回不等式：

这就是该积分的估计值范围。