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选择题-求定义域
日期：2026-02-06
1. 函数 的定义域为（ ）。
A.
B.
C.
D.
5. 已知 , 则 在区间 内不可导点的个数为（ ）。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
10. 设 是以 2 为周期的连续函数，则下列选项中与 一定相等的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
16. _________。
20. 若函数 的一个原函数为 ，则 _________。
22. 设函数 是由方程 所确定的隐函数，求 。
23. 求不定积分 。
题目： 函数 的定义域为（ ）。
解析： 反正弦函数 的定义域为 。 因此，我们需要满足不等式：
同时，分母不能为零，即 。
我们可以将不等式拆解为两部分：
分情况讨论 的正负：
当 时：。 同时 恒成立（正数大于负数）。 所以得到区间 。
当 时：（两边同乘负数 ，不等号变向）。 同时 恒成立（负数小于正数）。 所以得到区间 。
综合上述两种情况，定义域为 。
答案：D
第 5 题
题目： 已知 , 则 在区间 内不可导点的个数为（ ）。
解析： 函数 取 和 中较小的一个。我们需要通过画图或解不等式来确定分段函数的表达式。 令 ，解得 或 。这两个点是两个函数图像的交点。
- 当 时： 是负数， 是正数，所以 ，即 。
- 当 时： 例如 ，则 ，所以 ，即 。
- 当 时： 例如 ，则 ，所以 ，即 。
综上，
我们需要检查分段点 和 处的导数是否连续：
在 处：
- 左导数：
- 右导数：
- ，所以在 处不可导。
在 处：
- 左导数：
- 右导数：
- ，所以在 处不可导。
共有 2 个不可导点。
答案：B
第 10 题
题目： 设 是以 2 为周期的连续函数，则下列选项中与 一定相等的是（ ）。
解析： 首先分析被积函数 的周期。 因为 周期为 2，即 。 对于 ，有 。 所以， 的周期为 1。
题目要求的定积分 是在一个完整的周期（长度为 1）上的积分。 根据周期函数的性质：在一个周期上的积分值与积分区间的起点无关，即 。
我们来看选项：
- A. 。虽然区间长度为1，但前面有个负号，数值相反。
- B. 。区间长度为 2，相当于积了两个周期，值为 2 倍的目标积分。
- C. 。区间长度为 2，值为 2 倍的目标积分。
- D. 。区间为 ，长度为 1。由于 周期为 1，所以 。
答案：D
第 16 题
题目： _________。
解析： 使用微分近似公式 。 设 ，取 ，。 。 。 所以： 。
答案：1.05
第 20 题
题目： 若函数 的一个原函数为 ，则 _________。
解析： 设 ，则 。 对于定积分 ，我们要使用换元法。 令 ，则 。 当 时，；当 时，。 原式变为：
代入 计算：
结果为：。
答案：12
第 22 题
题目： 设函数 是由方程 所确定的隐函数，求 。
解析：
化简方程： 两边取自然对数：
求一阶导数 ： 方程两边对 求导：
整理得到：
利用原方程 可以进一步简化形式（为了求二阶导方便）：
求二阶导数 ： 对 使用商的求导法则：
将 代入上式：
分子分母同乘 进行通分整理：
答案： （也可以写成含 的形式，但此形式较为整洁）。
第 23 题
题目： 求不定积分 。
解析： 这道题需要使用两次分部积分法。分部积分公式为 。
第一步： 令 ，则 。 令 ，则 。
第二步： 计算 再次使用分部积分： 令 ，则 。 令 ，则 。
第三步： 综合结果 将第二步的结果代回第一步的式子：
答案：