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数学模拟卷-填空题
日期：2026-01-13
题目11
已知函数，则 ______
题目12
极限 ____
题目13
设参数方程，则 __
题目14
函数在区间上满足拉格朗日中值定理的 _____
题目15
利用微分近似计算 ______
题目16
已知 ，则 = ______
题目17
已知，则 ______
题目18
设，则 ______
题目19
定积分 ______
题目20
由直线 、$y=0 x=t \ (t>0)$ 及曲线 围成图形的面积为 ，则 ______
答案和解析
题目 11
答案：
解析：
原函数变形：
由 ，我们先反解出 。
移项得：。
两边立方：
。
解出 ：
。
互换 ：
根据反函数的定义，将 换成 ，将 换成 （即 ）。
所以 。
题目 12
答案：
解析：
这是 型极限，需要进行分子有理化。
分子有理化：
分子分母同时乘以 ：
整理分子：
利用平方差公式 ：
分子 。
代回极限：
抓大头（或分子分母同除以 ）：
当 时，。
题目 13
答案：
解析：
这是参数方程求导。公式为 。
求 对 的导数：
。
求 对 的导数：
。
求 ：
代入 ：
题目 14
答案：
解析：
拉格朗日中值定理公式：。
这里 。
计算端点函数值：
。
。
计算斜率：
。
求导数 ：
。
解方程 ：
两边平方：。
。
。
由于 ，符合题意。
题目 15
答案：
解析：
利用微分近似计算公式：。
构造函数与设定变量：
设 。
取 （因为 好算），（因为 ）。
计算 ：
。
计算导数 及 ：
，所以 。
代入公式：
。
题目 16
答案： 0
解析：
这道题的关键在于识别定积分 是一个常数。
设常数：
令 。
则原函数表达式变为：。
建立方程求 ：
将 的表达式代回积分定义式中：
计算积分：
利用奇偶性：（奇函数在对称区间积分为0）。
。
解出 ：
。
确定函数并求极限：
所以 。
题目求 ：
题目 17
答案：
解析：
求 ：
已知 ，则 。
求 ：
将 替换为 ：
。
代入积分式：
原式 。
计算不定积分：
题目 18
答案：
解析：
考察变上限积分求导（微积分基本定理）。
求导公式：
若 ，则 。
求 ：
。
代入 ：
题目 19
答案：
解析：
利用积分区间的对称性（奇偶性）。
拆分积分：
判断奇偶性：
是奇函数，在对称区间 上积分为 0。
是偶函数，积分为 。
计算偶函数部分：
利用华里士公式（点火公式）或者降幂公式。
方法一（降幂）：。
方法二（华里士公式）：
题目 20
答案：
解析：
这是一道结合定积分应用和极限的题目。
求面积 ：
由 围成，这是一个曲边梯形。
代入极限式：
求 。
令 。
计算极限：
这里利用等价无穷小。当 时，指数部分 。
由公式 (当 )，这里 。
代入极限：