计算题-求积分

日期：2026-01-04

26. 若 为连续函数，且 ，求 。

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2. 解题思路与步骤

这道题的核心难点在于积分符号 里面既有 又有 ，而且是以 的形式出现的。

这种形式通常需要通过换元把 和 分离，然后两边求导。

第一步：换元法简化积分

我们不想看到 这种复杂的复合函数，我们希望它是 。

• 设令：
• 推导关系： 则 ，且 （对 求微分，此时 视为常数）。
• 变换积分上下限：
  • 当 时， ；
  • 当 时， 。

将这些带入原积分：

利用负号把积分上下限颠倒回来（从 到 变为 到 ）：

第二步：拆分积分

将括号展开，把积分拆成两部分：

注意： 在对 积分时， 是常数，可以提到积分符号外面：

此时，原方程变为：

第三步：方程两边同时对 求导

这是最关键的一步。我们需要利用变限积分求导公式：。

• 左边求导：

  • 第一项 是两个关于 的函数相乘，要用乘法求导法则 ：
  • 第二项 直接求导： 把积分里的变量 换成 即可：
  • 左边合并：(你看，复杂的 正好抵消了，只剩下一个干净的积分)

• 右边求导： 对 求导，利用链式法则：

第四步：得出积分表达式并求解

经过求导，我们得到了一个新的等式：

题目要求计算 。 根据定积分的性质，积分变量用什么字母表示不影响结果（ 和 是一样的）。

我们只需要在上面的等式中，令 ：