证明存在题

日期：2025-12-12

26. 设 在 上连续，在 内可二阶可导且 ，证明存在 使 。

解题思路

这题的核心套路：先构造一个“恰好穿过三点的二次多项式” ，再看差函数 。因为 在 三点都等于 0，所以可以对 连续用两次罗尔定理，逼出某点二阶导为 0，从而得到 。

第 1 步：构造插值二次函数

设

要求它满足与 同样的三点取值：

• 由 得 。
• 由 得 。
• 由 得 。

解方程组：

所以

并且

（这里为什么：二次多项式二阶导是常数， 的二阶导是 1，线性项和常数项二阶导为 0。）

第 2 步：构造差函数

令

则

也就是说： 在 有三个零点。

并且：

• 在 连续，而 是多项式处处连续，所以 在 连续。（连续函数差仍连续）
• 在 二阶可导，而 多项式处处二阶可导，所以 在 二阶可导。（可导函数差仍可导）

这些是后面用罗尔定理的前提条件。

第 3 步：第一次用罗尔定理，得到两个点使

因为 在 连续、在 可导，并且 ，满足罗尔定理条件，所以：

存在 ，使得 。

同理， 在 连续、在 可导，且 ，所以：

存在 ，使得 。

（这一步为什么能保证 分别落在 、：因为罗尔定理给的点一定在端点之间的开区间里。）

第 4 步：第二次用罗尔定理，得到某点使

现在看函数 。

• 因为 在 二阶可导，所以 在 可导，并且 在 连续。（一般：可导函数导数在闭区间上具有介值性质需要更强条件，但这里我们只需要：二阶可导 连续，从而满足罗尔定理的“连续”要求。确切地说：，所以在闭区间 上 连续且可导。）

并且我们已有

于是对 在 使用罗尔定理：

存在 ，使得 。

第 5 步：把 转回到

因为

（为什么：求导是线性的，差的二阶导=二阶导的差。）

在 处：

因此

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结论

在 至少存在一点 ，使得