证明题-不等式

日期：2025-12-27

第 30 题：证明积分不等式

题目： 求证不等式 。

【思路分析】 这是一道利用定积分估值定理的题目。 估值定理公式：设 和 分别是函数 在区间 上的最大值和最小值，则：

这里的区间长度 。 我们需要做的是：找到被积函数 在区间 上的最小值 和最大值 。

【详细证明步骤】

第一步：研究指数部分的函数性质 令 ，定义域为 。 求导：。 令 ，解得驻点 。

第二步：比较端点和驻点的函数值，找最值 我们需要计算 在端点 和驻点 处的值：

1. 当 时：
2. 当 时：
3. 当 时：

所以在区间 上：

• 的最小值是
• 的最大值是 即：

第三步：确定被积函数的最值 因为指数函数 是单调递增函数，所以我们可以直接把上面的最值代入指数中：

• 被积函数的最小值
• 被积函数的最大值

即对于任意 ，都有：

第四步：利用积分性质进行放缩（证明结论） 对不等式三边同时在 上积分：

因为左右两边是被积函数为常数的积分（即：常数 区间长度）：

• 左边
• 右边

最终结论：

证毕。

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第 29 题：铁丝剪断围面积最小问题

题目： 将长为 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问这两段铁丝各长多少时，正方形与圆形面积之和最小？

【思路分析】

1. 设变量：设其中一段长为 ，则另一段长为 。
2. 列函数：分别用 表示两个图形的面积，建立总面积 的函数。
3. 求导数：利用导数求函数的极小值点。

【详细解题步骤】

第一步：设定变量与几何公式 设围成圆形的铁丝长度为 ()，则围成正方形的铁丝长度为 。

• 对于圆形： 周长 半径 。 面积 。

• 对于正方形： 周长 边长 。 面积 。

第二步：建立目标函数 总面积 为两面积之和：

第三步：求导数寻找驻点 对 求导（注意链式法则）：

令 ，解方程：

交叉相乘：

化简：

移项提公因式：

解得驻点：

第四步：验证与得出结论

• 计算正方形铁丝长度：

• 判断最值： 由于实际物理问题中必定存在最小值，且只有一个驻点，故该点即为最小值点。（严谨一点可以求二阶导 ，说明函数开口向上，是极小值）。

【最终答案】 当围成圆形的铁丝长为 ，围成正方形的铁丝长为 时，面积之和最小。

(注：如果你设 为正方形的周长，算出来的 就会是 ，结果是一样的，只是对应的变量不同。)