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选择填空题
日期：2026-01-07
8. 已知函数 ，则 在下列哪个区间上单调递增（ ）
A. B. C. D.
解题步骤
第一步：求函数的导数
要判断函数的单调性，我们需要求导，找到导数大于 0 的区间。 函数表达式为：
我们可以利用乘法法则 来求导： 设 ，则 设 ，则 （复合函数求导）
代入公式：
第二步：化简导数表达式
观察上式，发现两项中都有公因式 ，我们可以把它提取出来：
接下来化简中括号里的内容：
- 展开
- 展开
合并同类项：
所以，最终的导数表达式为：
第三步：分析导数的符号
我们要找函数单调递增的区间，即要求 。
观察导数表达式 ：
- 第一部分 ：因为是平方，所以在实数范围内恒大于等于 0（当 时为正）。它不改变导数的正负号。
- 第二部分 ：决定了导数的符号。
我们需要解不等式：
求方程 的根： 由求根公式 ，
因为 ，所以：
- 根
- 根
二次函数 开口向上，它在两根之外为正。 即单调递增区间大约是 和 。
第四步：对比选项
现在我们来看看题目给出的选项，看哪个区间完全落在我们的递增区间内：
- A. ：因为 ，所以这个区间完全位于左边的递增区间内。在这个区间上 ，函数单调递增。（符合）
- B. ：这个区间包含了 。当 时，，函数是递减的。（不符合）
- C. ：。我们算出的右边递增起点约是 。在 到 之间，导数是负的（例如取 ，）。所以这个区间不完全是递增的。（不符合）
- D. ：同样包含了导数为负的部分。（不符合）
结论
只有选项 A 的区间完全处于函数的单调递增范围内。
正确答案是：A
第 11 题
题目： 设 ， ，则 的定义域为 ______
【解题思路】
理解复合函数定义域的要求： 要求 有意义，必须满足两个条件：
- 必须在内层函数 的定义域内。
- 内层函数的值 必须在外层函数 的定义域内。
分析外层函数 ： 因为 ，对数函数的真数必须大于 0。 所以，我们需要满足核心条件：。
分段讨论内层函数 ： 由于 是分段函数，我们要分两段来计算。
第一段：当 时 此时 。 我们需要： 解得：取交集：我们需要 同时满足 和前提条件 。 显然，这两个范围没有交集（空集）。所以在这一段里找不到符合条件的 。
第二段：当 时 此时 。 我们需要： 即： 解不等式得：取交集：我们需要 同时满足 和前提条件 。 这部分取交集后的结果是：。
综合结果： 综合两段的情况，符合条件的 的范围就是第二段解出的范围。
答案：
第 12 题
题目： 双曲正弦函数 的反函数是 ______
【解题思路】
求反函数的本质就是把 解出来，用 表示，最后再互换字母。
列出方程：
去分母：
注意到 ，为了方便计算，我们令 （这里隐含条件 ）。 方程变为：
整理成一元二次方程： 两边同时乘以 ：
移项整理得：
利用求根公式解出 ： 这是一个关于 的一元二次方程，其中 。
提取根号内的 4 并约分：
取舍根： 因为 ，所以必须满足 。 观察 ，这意味着 的值一定比 大。
- 如果是 ，结果一定是负数，舍去。
- 所以只能取 。
还原并求 ： 将 换回 ：
两边取自然对数：
互换 得到反函数： 习惯上我们用 表示自变量，用 表示因变量，所以最后一步互换字母：
答案：
第一题：心形线弧长计算
题目：心形线 的长为 ______。
在极坐标系（就是用 和 表示的坐标系）中，求曲线长度有一个固定的公式。
公式是这样的：
- ：表示弧长（Length）。
- ：就是题目给的方程 。
- ：是 对 的导数。
- ：是积分的起点和终点。心形线是一个封闭的像心脏一样的圈，它的角度 是从 转一圈回到 。所以积分区间是 。
第二步：准备工作——求导数和化简被积函数
公式里有个根号 ，我们先把根号里面的东西算清楚，免得带进积分里太乱。
1. 求 的导数 ()： 题目已知： 对 求导：
(解释：常数 的导数是 0， 的导数是 )
2. 计算平方和 ()：
3. 展开括号（利用完全平方公式）：
4. 合并同类项（最关键的一步）： 我们知道三角函数里有个最基础的定理：。 看上面的式子，最后两项 刚好可以合并成 。
于是式子变成了：
提取公因式 ：
第三步：利用“半角公式”继续化简
现在我们得到根号里面是 。如果直接开根号， 不好处理，没法直接积分。
我们需要用到三角函数里的倍角/半角公式变形：
(解释：这是一个非常常用的公式，专门用来把“1+cos”变成一个平方项，方便开根号)
把这个公式代入刚才的结果：
第四步：开根号，写出积分式
现在我们可以把算好的东西放回根号里了：
开根号要注意：（绝对值）。
所以，弧长的积分式子就是：
第五步：利用“对称性”去掉绝对值并计算
带着绝对值符号 很难直接算积分。我们需要想办法去掉它。
1. 观察图形/对称性： 心形线是关于 x 轴对称的（就像心形左右或上下对称一样）。 从 到 是一整圈。 我们可以只算上半圈（ 从 到 ），然后乘以 2。
2. 为什么要只算上半圈？ 当 在 到 之间时， 就在 到 之间。 在第一象限（0 到 90度），余弦函数 是正数。 正数的绝对值就是它本身，所以我们可以直接去掉绝对值符号！
3. 重新写积分式：
提常数出来：
第六步：算出最后的数字
现在只需要算 。
凑微分法： 的原函数是 。 (检查一下：对 求导，等于 ，正确)
代入上下限：
把 和 分别代进去：
因为 ，：
最终答案
题目 5
已知条件： 存在，且 。 要求解：
第一步：观察题型，判断能否直接算
我们先把 代进去试试，看看是什么情况：
- 分子：
- 分母：
这是一个典型的 型极限。 遇到这种情况，最通用的方法是使用 洛必达法则（L'Hopital's Rule）。
洛必达法则的核心：对分子和分母分别求导，然后再算极限。
第二步：对分子分母分别求导（关于 ）
这一步是这道题最容易出错的地方，一定要小心复合函数求导（链式法则）。我们要对变量 求导，把 看作常数。
1. 分母求导：
2. 分子求导： 分子是两项相减：
第一项 ： 这是一个复合函数。外层是 ，内层是 。 求导公式：
- 外层导数：
- 内层导数（对 ）：
- 结果：
第二项 ： 同理。
- 外层导数：
- 内层导数（对 ）：
- 结果：
3. 组合起来： 求导后的新式子是：
第三步：化简式子
观察上面的式子，分子和分母里都有 2，我们可以把大家同时除以 2，让式子清爽一点。
这个时候，我们可以把它拆成两个部分来分别看：
第一部分： 可以直接约掉，剩下 。 当 时，这一项就变成了 。 根据题目已知条件 ，这一部分等于 0。
第二部分： 这一部分留下来了，我们把负号提出来，重点解决它：
第四步：利用导数定义凑出答案（关键一步）
现在的任务是算：。
这里的技巧是利用题目给的一个“多余”条件：。 既然 是 0，我把它减在分子上，数值是不会变的，对吧？
为什么要这么做？ 因为二阶导数 的定义公式是这样的：
(意思是：导数的增量 自变量的增量)
回头看我们的式子：
分子里的变化量是 ，但是分母是 。 为了套用公式，分母必须和分子的变化量一致，也得是 。
凑形大法： 我们给分母乘上 2，为了平衡，分子也要乘上 2（或者说把这个 2 乘在最前面）。
当 时，这一大坨 正好就是二阶导数 。
第五步：得出结论
回到第三步的结尾，我们要算的是：
最终答案
题目 1
题目：下列各组函数相同的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
核心知识点：怎样才算“同一个函数”？
要判断两个函数一模一样，必须同时满足两个条件，缺一不可：
- 定义域相同： 能取值的范围必须完全一样。
- 对应法则相同：化简后的解析式（公式）必须完全一样，算出来的结果必须一样。
我们一个选项一个选项地来“体检”。
选项 A 分析
看 ：
- 这是对数函数。对数的要求是真数必须大于 0。
- 即 。只要 不等于 0，平方后都是正的。
- 定义域：（即所有非零实数）。
看 ：
- 这里真数是 。
- 即 。
- 定义域：（只能是正数）。
结论： 一个能取负数，一个不能。定义域不同，所以不是同一个函数。 (排除 A)
选项 B 分析（易错点）
看 ：
- 根号里的一大坨东西 必须 。
- 根据“同号得正”，这意味分子分母要么都正，要么都负。
- 解出来是： 或者 。
- 定义域：。
看 ：
- 这里有两个根号，它们必须分别有意义。
- 分子：。
- 分母：（分母不能为0）。
- 两个条件取交集，最后只能是 。
- 定义域：。
结论： 在 的时候有意义，而 没有。定义域不同，所以不是同一个函数。 (排除 B)
选项 C 分析
看定义域：
- 这里是 三次根号 ()。
- 重点：奇数次根号（3次、5次...）里面不管是正数、负数还是0都有意义。
- 所以 和 的定义域都是 全体实数 ()。第一关通过！
看对应法则（化简）：
- 我们提取公因式：
- 根据根式运算规则 ：
- 因为是3次方开3次根，直接还原：
- 这就变成了 。
结论： 定义域相同，公式化简后也完全一样。是同一个函数。 (选中 C)
选项 D 分析
看对应法则：
- 。
- 。
- 我们知道 出来其实是 (绝对值)。
- 举个例子：如果 ，
- 一个得负，一个得正。
结论： 算出来的结果不一样。对应法则不同，所以不是同一个函数。 (排除 D)
最终答案
C
这道题的关键就是：千万不要看到公式能化简就觉得一样，必须先检查定义域。
题目 11
已知：求：$f(x) = $ ______
第一步：看懂题目的“陷阱”
这道题的难点在于：括号里不是简单的 ，而是一个整体 。 我们可以把括号里的这个整体想象成一个新的变量，比如叫它 。
目标：我们要把等号右边的式子，也变成只含有 的形式。这样就能看出函数 到底对变量做了什么操作。
第二步：寻找 和 的关系
怎么把 变成 呢？ 很自然地，我们会想到平方。
我们来试着算一下 ： 利用完全平方公式 ：
中间这一项 ，因为 和 互为倒数，乘积是 1。 所以式子变成了：
第三步：变形（配凑法）
现在我们回头看题目给的等式右边： 原式右边
我们要利用刚才算出来的公式，把 替换掉。 由上一步可知：
(把那个多出来的 2 移到等号另一边)
现在，把这个代入到原题的式子里：
第四步：整理合并
把括号里的常数算一下：。
第五步：还原为
现在式子已经很清晰了：
为了写成标准的函数形式，我们把这个“复杂的整体”直接换成字母 （或者你可以先换成 ，即 ，然后再改写成 ）。
结论就是：
最终答案
总结一下这道题的套路： 看到 和 同时出现，立刻就要想到完全平方公式。 这就好比看到“哥哥”来了，就知道“弟弟”肯定藏在平方后面减了个2。