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数学模拟卷-选择题
日期：2026-01-13
题目
1、函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
题目2
当时，是的______无穷小。（ ）
A 高阶
B 低阶
C 同阶非等价
D 等价
题目3
设，是的（ ）
A 连续点
B 跳跃间断点
C 可去间断点
D 第二类间断点
题目4
设在点的某邻域内可导，为极大值，则（ ）
A.
B.
C.
D.
题目5
设函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
题目6
函数的单调递增区间有（ ）
A.
B.
C.
D.
题目7
下列式子中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
题目8
（ ）
A.
B.
C.
D.
题目9
设，则（ ）
A.
B.
C.
D.
题目10
已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
下面是答案：
题目 1：求定义域
答案：C
解题思路：
求定义域就是找“让式子有意义”的的范围。这里有两个限制条件需要同时满足（取交集）：
反正弦函数的限制：
括号里的东西必须在之间。
即：
两边同时加 1：——（条件 A）
分母和根号的限制：
根号下的数必须非负，且在分母上不能为 0。
即：
移项得：——（条件 B）
综合结果：
要把（条件 A）和（条件 B）合起来，即既要大于等于 0，又要小于 1。
结果：。
题目 2：无穷小的比较
当时，是的什么无穷小？
答案：C
解题思路：
我们要比较两个东西谁趋近于 0 的速度更快，就计算它们的比值的极限。
利用等价无穷小替换（这是最快的方法）：
对于分子：由公式，这里。
所以。
对于分母：，所以。
代入比值：
结论判定：
如果，是等价无穷小。
如果，分子是高阶（分子跑得快，瞬间变 0）。
如果，分子是低阶。
如果（常数且），这就是 同阶非等价无穷小。
因为是常数且不是 1，所以选 同阶非等价。
题目 3：连续性判定（重点解析）
判断是什么点。
答案：A
解题思路：
判断连续性，就是看“左边过来的值”、“右边过来的值”和“函数本身的值”是否三者相等。
函数值：
看的表达式，代入：。
左极限：
从比 1 小的方向趋近，用这个式子。
。
右极限（你的疑惑点）：
从比 1 大的方向趋近，用这个式子。
这是一个型极限。我们用换元法让它变得直观：
令。当时，。
此时，指数。
代入得：。
核心定义：这就是自然常数的定义式！所以结果是。
结论：
左极限 () = 右极限 () = 函数值 ()。
三者相等，所以 连续。
题目 4：导数定义
已知是极大值，求。
答案：B
解题思路：
费马引理（必要条件）：
题目说在处可导且是极大值。在微积分里，可导函数的极值点，其导数必然为 0。
即：。
处理极限式子：
这就考察导数的定义：。
题目给的是：。
注意：分子里的变化量是，分母必须也是才能凑成导数。
凑形：分子分母同乘 2。
这就变成了。
计算：
因为，所以。
题目 5：高阶导数
，求 5 阶导数。
答案：D
解题思路：
根据加法法则，分别求导，再相加。
第一部分：
指数函数每求一次导，就多乘一个。
1阶：
2阶：
...
5阶：
第二部分：
这是一个 4 次多项式。
1阶：
2阶：
3阶：
4阶：（常数）
5阶：（常数求导是0）
规律：只要求导次数大于多项式次数，结果就是 0。
综合结果：
。
题目 6：单调递增区间
，求递增区间。
答案：B
解题思路：
函数递增导数。
求导（商的求导法则）：
化简分子：。
所以。
解不等式：
因为分母肯定是正数（），所以只看分子。
解这个二次不等式：或。
对应区间：
和。
选项 B 是，符合。
题目 7：积分与微分的关系（重点解析）
答案：B
解题思路（怎么看符号）：
A 错：。
先做：得到。
再做（微分）：得到，也就是。
A 写的是，没有，所以错。
B 对：。
最里面：。
中间层：。积分号抵消了微分号，得到（注意不定积分要加常数）。
最外层：。即。
常数微分是 0，剩下，展开就是。
所以这个式子是成立的。
C 错：。
先：得到。
再求导：得到。
求导的结果是一个函数，后面不能带。C 选项带了，所以错。
D 错：。
求导数的原函数，结果是。
不定积分必须加。D 选项没加，所以错。
题目 8：含积分的极限
答案：D
解题思路：
这是型极限。
处理分子：
。
根据等价无穷小：。
处理分母：
。
利用泰勒公式：。
所以。
(或者对分母用两次洛必达法则求导，也能得到常数 1)。
计算极限：
题目 9：不定积分计算
答案：B
解题思路：
看到，马上想到三角函数倍角公式（降幂公式的逆运算）。
公式：。
代入：
凑微分：
把变成，需要乘个 2。
积分：
的原函数是。
结果：。
题目 10：定积分大小比较
比较。
答案：D
解题思路：
在区间上比较被积函数的大小。底数都是，因为是增函数，所以我们只要比较指数的大小即可。
三个指数分别是：
-
-
-
在时（画个单位圆或者想一下图像）：
1.与：
因为是锐角且小于 45度，。所以。
2.与：
比较和。
即比较和。
辅助角公式：。
当时，这个值肯定大于 1。
所以，即。
排序结果：
最大的是，其次是，最小的是。
即：。